Ecuaciones de Evolución del Campo
Las ecuaciones de
Euler-Lagrange aplicadas al lagrangiano anterior proporcionan
las ecuaciones de
evolución siguiente:
Que expresado en términos de los
campos eléctricos y magnéticos equivalen a las dos ecuaciones siguientes:
Estas son las ecuaciones de Maxwell homogéneas. Para obtener las
otras dos es necesario considerar en el lagrangiano la interacción entre la
materia con carga eléctrica y el campo electromagnético propiamente dicho.
Electrodinámica Cuántica (QED)
La electrodinámica
cuántica (ó Quantum ElectroDynamics), como sugiere su nombre, es
la versión cuántica de la electrodinámica. Esta
teoría cuántica se describe el campo electromagnético en términos de fotones intercambiados entre
partículas cargadas, al estilo de la teoría cuántica
de campos. Por tanto, la electrodinámica cuántica se centra en la descripción
cuántica del fotón y su interacción/intercambio
de energía y momento lineal con las partículas cargadas.
Se puede señalar que la formulación de la teoría de
la relatividad restringida se compone de dos partes, una de ellas «cinemática»,
descrita anteriormente, y que establece las bases de la teoría del movimiento –
y, por consiguiente, del conjunto de la teoría– dándoles su expresión
matemática, y una parte «electrodinámica» que, combinando las propuestas de la
primera parte con la teoría electromagnética de Maxwell, Hertz y
Lorentz , establece deductivamente un cierto número de teoremas sobre las
propiedades de la luz y, en general de las ondas electromagnéticas como,
asimismo, la dinámica del electrón.
En la
parte correspondiente a la electrodinámica, Albert Einstein formula su teoría
aplicando, para un espacio vacío, la transformación de coordenadas –que forma la
base de la cinemática relativista– a las ecuaciones de Maxwell-Hertz; esta
aplicación revela, una vez más, que la transformación, lejos de ser un simple
artificio de cálculos, posee un sentido físico esencial: las leyes del
electromagnetismo clásico determinan las propiedades de dos vectores
diferentes, uno del otro, el campo eléctrico de componentes X,Y,Z en el sistema K y el campo magnético de componentes Bx, By, Bz; ahora bien, transformando las ecuaciones de K a K' e imponiendo, en función a los principios de la relatividad, que las nuevas componentes de los campos X, Y, Z; Bx, By, Bz en K se obtienen unas relaciones donde las componentes transformadas del campo eléctrico y del campo magnético respectivamente dependen, a su vez, de los componentes iniciales de ambos campos, lo que conduce con asombrosa naturalidad a la unificación teórica del magnetismo y de la electricidad. Para ello, las relaciones necesarias en las condiciones que interesan son:
Por otro lado, la distinción entre
fuerza eléctrica y fuerza magnética no es sino una consecuencia del estado de
movimiento del sistema de coordenadas; en que, el análisis cinemático elimina
la anomalía teórica prerelativista: la distinta explicación de un mismo
fenómeno (la inducción electromagnética) no es más que una apariencia debida al
desconocimiento del principio de relatividad y de sus consecuencias.
Por otra parte, en función de las
fórmulas relativistas es factible extender los resultados precedentes a las
ecuaciones de Maxwell cuando existen corrientes de convección; la conclusión es
que la electrodinámica de los cuerpos en movimiento de Lorentz están conforme
con el principio de relatividad.
Ahora, en cuanto a la dinámica del electrón lentamente
acelerado, que exigiría una larga discusión, sólo citaremos el siguiente
resultado: si se atribuye una masa m a un electrón lentamente acelerado por un
campo eléctrico y en función de esta masa
se puede evaluar la energía cinética de un electrón, medida en un sistema en
reposo respecto al cual ha sido acelerado por el campo hasta una velocidad v.
Pero donde la formulación teórica de
la parte de la electrodinámica de la relatividad restringida coloca su acento
es en la propagación de las ondas electromagnéticas, de donde se deduce,
siempre siguiendo el mismo método de aplicación algebraica de las fórmulas de
Lorentz, las leyes de los dos fenómenos ópticos más conocidos y de gran
importancia para la astronomía: el efecto Doppler (aparente cambio de frecuencia
para una fuente en movimiento y que analizaremos en la siguiente separata) y la
aberración, ya mencionada anteriormente.
CORRIENTE
Si queremos conocer a
fondo el término corriente lo primero que debemos hacer es intentar descubrir
su origen etimológico. Y este se encuentra en el latín, en concreto en el verbo
currere, que es sinónimo de “correr”.
Corriente es un
adjetivo que permite nombrar a aquel o aquello que corre. El término puede
aplicarse al paso del tiempo para nombrar al momento actual o al que va
transcurriendo. Por ejemplo: “El gobierno prometió una solución definitiva en
el transcurso del corriente mes”, “El corriente año refleja un mejor desempeño
financiero de la compañía”.
Otra aceptación de
corriente está vinculado a lo que está en uso en la actualidad o que lo estaba
en el momento de que se habla: “Por aquellos tiempos, la vestimenta corriente
incluía un sombrero en el caso de los hombres”, “La normativa corriente prohíbe
bañarse en este río ante sus elevados niveles de contaminación”, “La moneda
corriente en el territorio europeo es el euro”.
Lo sabido o admitido
comúnmente, aquello que no tiene estorbo para su uso o lo que sucede con
frecuencia también se conoce como corriente: “Esta es una máquina corriente, no
creo que tengas problemas para utilizarla”, “Me compré una campera común y
corriente, pero la verdad que la necesitaba para no sufrir con las bajas
temperaturas”, “Es algo corriente ver peleas por las noches en este barrio”.
Tampoco podemos olvidar
la existencia de lo que se conoce como corriente marina. Se trata de un término
que empleamos en el ámbito de las ciencias para referirnos a los movimientos a
nivel de superficie que realizan las aguas tanto de los mares como de los
océanos.
Así, por ejemplo, en el
habitual coloquial se puede decir: “El hombre que se encontraba nadando tuvo un
desmayo y eso fue lo que provocó que fuera arrastrado por la corriente del mar
mucho más adentro.
De la misma forma
también está la llamada corriente fluvial, que es la lámina que a ras de la superficie
tiene el cauce del río. Aquella está conformada por el agua del suministro de
los arroyos así como de la posible fusión de lo que sería la nieve.
Y luego, por otro lado,
pero también dentro del ámbito científico, están las llamadas corrientes de aire.
Se trata de flujos de aire muy rápidos que se producen en diversos planetas
como sería el caso de la Tierra.
La corriente eléctrica,
por otra parte, es una magnitud física que refleja la cantidad de electricidad
que, en una unidad de tiempo, fluye por un conductor. Este flujo de cargas
eléctricas se mide en amperios, de acuerdo al Sistema Internacional.
Es posible distinguir
entre la corriente continua (la corriente eléctrica que fluye en un mismo
sentido) y la corriente alterna (que invierte el sentido de su movimiento según
una cierta frecuencia periódica).
Además de todo lo
expuesto tampoco hay que olvidar de la ciudad de Corrientes. Se trata de una
urbe de Argentina que ejerce como capital de la provincia que le da nombre La
corriente eléctrica o intensidad eléctrica es el flujo de carga eléctrica por
unidad de tiempo que recorre un material. 1 Se debe al movimiento de las cargas
(normalmente electrones) en el interior del material. En el Sistema
Internacional de Unidades se expresa en C/s (culombios sobre segundo), unidad
que se denomina amperio. Una corriente eléctrica, puesto que se trata de un
movimiento de cargas, produce un campo magnético, un fenómeno que puede
aprovecharse en el electroimán.
El instrumento usado
para medir la intensidad de la corriente eléctrica es el galvanómetro que,
calibrado en amperios, se llama amperímetro, colocado en serie con el conductor
cuya intensidad se desea medir.
El término corriente,
según el uso que se le de y en el contexto que se lo aplique, significará diversas
cuestiones.
A la hora de tener que
establecer o marcar el tiempo, la palabra corriente ostenta muchas veces la
función para hacerlo, porque por ejemplo, cuando se quiere dar cuenta que
alguna situación sucede regularmente y con mucha frecuencia, la gente usa el
término corriente. Si Juan todos los días llega después de hora a clases, se
dirá entonces que es corriente que Juan llegue tarde a la escuela.
EJERCICIOS RESUELTOS
Resistencia
El término corriente,
según el uso que se le de y en el contexto que se lo aplique, significará
diversas cuestiones.
A la hora de tener que
establecer o marcar el tiempo, la palabra corriente ostenta muchas veces la
función para hacerlo, porque por ejemplo, cuando se quiere dar cuenta que
alguna situación sucede regularmente y con mucha frecuencia, la gente usa el
término corriente. Si Juan todos los días llega después de hora a clases, se
dirá entonces que es corriente que Juan llegue tarde a la escuela.
Podemos nombrar como
ejemplo a la resistencia eléctrica de
una determinada sustancia, que se define como la oposición que halla la
corriente eléctrica a la hora de entrar en circulación. Su valor se designa en
ohmios. Por otra parte, se conoce como resistencia o resistor a la pieza
electrónica que ha sido fabricada para generar una resistencia eléctrica
concreta entre dos puntos de un mismo circuito.
Todos los objetos, sea
cual sea su material, ofrecen una menor o una mayor resistencia para el paso de
la corriente eléctrica. Entre los metales los que presentan una menor
resistencia son la plata y el oro; la razón por la cual los conductores que se
utilizan dentro de los cables son de cobre es porque sería sumamente costoso
fabricarlos de oro o plata y además, el cobre también es un muy buen conductor
y claramente, mucho más económico.
En algunos casos
también se utiliza el aluminio como conductor en los cables, por ejemplo en los
de las torres de alta tensión, suele utilizarse sobre todo cuando es necesario
transportar electricidad en distancias muy largas.
Otros materiales que
pueden servir como buenos conductores de electricidad son el alambre
nicromo (Ni-Cr), ideal para regular la
tensión en algunos dispositivos eléctricos; también sirve para producir calor
en determinados equipos industriales y electrodomésticos (estufas, planchas y
calentadores).
El carbón también puede
servir para fabricar resistencias que sirvan para regular los valores de la
corriente y de la tensión en los circuitos electrónicos.
La resistencia de un
elemento, en cambio, tiene que ver con la capacidad de un sólido para soportar
presiones y fuerzas aplicadas sin quebrarse, deformarse o sufrir deterioros.
La resistencia física,
por otro lado, es una capacidad del cuerpo humano (la cual permite desarrollar
una actividad durante un tiempo prolongado). De esta forma, las carreras de
resistencia constituyen una disciplina automovilística y motociclística en la
que se mide el nivel de los coches y la capacidad de los pilotos a nivel
físico.
El término es utilizado
y aplicado para describir distintas situaciones y por diversas disciplinas.
Por ejemplo, la más
común y corriente es la acepción que está relacionada y se usa muy
recurrentemente en la actividad física. Entonces, en este ámbito la resistencia
física (aeróbica) es la capacidad física que permite llevar a cabo un trabajo
físico de importante intensidad durante un tiempo prolongado. Obviamente en
esto tendrá mucho que ver el buen funcionamiento de órganos vitales
determinantes como ser el corazón, los pulmones y el sistema circulatorio. La
capacidad de resistencia física guarda relación casi directa con la salud
cardiovascular, la cual debe ser evaluada en todos los individuos que buscan
iniciar o potenciar un plan de ejercicios, en especial a partir de los 40 años.
Por otro lado, también
está la resistencia anaeróbica, que también implica el sostenimiento de un
esfuerzo físico por un tiempo prolongado pero no superior a los diez minutos y
con la ausencia de oxígeno como consecuencia del fuerte esfuerzo que se
realiza. Sin embargo, no es recomendable empezar una actividad que requiera
este tipo de resistencia sin antes pasar por la aeróbica, para de este modo
obtener la mayor cantidad de aire posible. Por consiguiente, no se dudan los
beneficios metabólicos y físicos de la resistencia anaerobia, siempre y cuando
estén encuadrados en un plan integral de ejercicios en el cual participen
también las actividades aeróbicas.
Y también en
consonancia con la ejercitación física, encontramos otro tipo de resistencia,
la resistencia local que se logrará a partir de la repetición sistemática o
sosteniendo en forma estática durante un tiempo prolongado un movimiento. Pero
claro esta resistencia necesitará de una práctica constante y regular en el
tiempo. Generalmente, todas estas formas de resistencia física se consiguen
haciéndolas regularmente, como decíamos, en un gimnasio y bajo la estricta
supervisión de un profesional que siga la evolución, marque los errores y
también el límite al cual puede llegar cada individuo en particular.
Asimismo, otra acepción
de resistencia también muy familiar y presente en nuestras vidas cotidianas es
la resistencia eléctrica. Se dice que una sustancia tiene resistencia eléctrica
cuando esta se opone a la circulación de la corriente. Esta definión abarca a
la corriente continua y la alterna. En tanto, según el tamaño de resistencia
que imponga, la sustancia puede ser conductora, semiconductora y aislante. En
la ecuación tradicional de resistencia, se incluyen la diferencia de potencial
o voltaje y la intensidad de corriente o amperaje. El cociente de estos 2
parámetros define el nivel de resistencia en el circuito eléctrico, mientras
que la división inversa da lugar a otra magnitud, conocida como conductancia y
de mayor aplicación en modelos de bioelectricidad. Toda
la tecnología moderna, de un modo u otro, se fundamenta en la aplicabilidad de
las ecuaciones de resistencia eléctrica, también conocidas con el nombre
general de ley de Ohm.
La Resistividad
La resistividad o resistencia específica
es una característica propia de un material y tiene unidades de ohmios–metro.
La resistividad indica que tanto se opone el material al paso de la corriente.
La resistividad [ρ] (rho) se define
como: ρ = R *A / L donde:
- A es el área transversal medida en
metros cuadrados
- ρ es la resistividad medida en
ohmios-metro
- L es la longitud del material
medida en metros
- R es el valor de la resistencia
eléctrica en Ohmios
Es la resistencia eléctrica específica de cada material para oponerse al paso de una corriente
eléctrica. Se designa por la letra griega rho minúscula (ρ) y se mide en ohmios metro (Ω•m).
En donde R es la resistencia en
ohms, S la sección transversal en m²
y l la longitud en m. Su valor
describe el comportamiento de un material frente al paso de corriente
eléctrica, por lo que da una idea de lo buen o mal conductor que es. Un valor
alto de resistividad indica que el material es mal conductor mientras que uno
bajo indicará que es un buen conductor.
Como ejemplo, un material de 1 m de
largo por 1 m de ancho por 1 m de altura que tenga 1 Ω de resistencia tendrá
una resistividad (resistencia específica, coeficiente de resistividad) de 1 Ω•m2
Generalmente la resistividad de los
metales aumenta con la temperatura mientras que la resistividad de
los semiconductores disminuye ante el aumento de
la temperatura.
Por sus componentes minerales, las rocas serían aislantes en la mayor parte de los casos
(como lo son las rocas ígneas). Las excepciones serían aquellas
compuestas principalmente por semiconductores cuya proporción en la corteza es muy baja. En consecuencia,
si el terreno es un conductor moderado, se debe a que las rocas que lo
constituyen son porosas y además poseen sus poros parcial o totalmente ocupados
por electrolitos; por lo tanto se comportan como
conductores iónicos de resistividad muy variable.
Para tener una idea del fenómeno de la conductividad en
tales rocas se puede utilizar la expresión obtenida por Maxwell que describe la resistividad P12 de un medio heterogéneo compuesto por una
matriz de resistividad P2 con material disperso de resistividad P1 distribuido aleatoriamente y ocupando una
fracción P del volumen total:
Fórmula válida sólo cuando las
impurezas de resistividad P1 se encuentran en volúmenes
pequeños comparados con las distancias que los separan, es decir, cuando los
valores de P son bajos.
Resistividad de las rocas porosas saturadas
Las rocas porosas cuyos poros están llenos de electrolitos constituyen un medio heterogéneo con
inclusiones de resistividad mucho menor que la de los minerales de su matriz. El caso de mayor interés es
aquel en el que los poros se encuentran en contacto (porosidad efectiva) y
ofrecen un camino ininterrumpido para la conducción de corriente eléctrica. Para
una comprensión del fenómeno es conveniente utilizar un modelo representativo
de la conducción, siendo el de manojo de capilares el
más adecuado para este propósito.
Considerando una muestra de roca
electrolíticamente saturada, con un camino poroso interconectado (como
una arenisca), y en la que se asume que toda la
conducción eléctrica ocurre por el camino electrolítico, se puede escribir:
Siendo: Pr la resistividad [Ω·mm²/m]
L la longitud [m]
S sección de la muestra [mm²]
Se ha indicado [] las unidades
típicas del S.I.
Pa es la resistividad del
electrolito y Le y Se la longitud y sección del
camino electrolítico equivalente.
Ejercicios Resueltos
La Densidad de corriente
Se define
el flujo ó caudal de carga, más comúnmente conocido con el nombre de Densidad
de Corriente, J, como la cantidad de carga que pasa por unidad de tiempo y por
unidad de sección transversal, siendo un vector con la misma dirección que la
velocidad de las partículas cargadas. Si existen n partículas por unidad de volumen,
cada una de ellas con una velocidad promedio v, y con una carga q, entonces,
por un área dA’, de sección transversal dA=|dA’| cos q, durante un tiempo Dt,
pasará una cantidad de carga igual a la que se encontraba en un paralelepípedo
truncado de área dA’ y lado v Dt, como se indica en la figura:
Es decir,
el número de partículas en el sólido es el número de partículas por unidad de
volumen n, multiplicado por su volumen, siendo el volumen del sólido el
producto escalar:
Con lo
cual, la carga total encerrada en el sólido, que pasará por el área dA’, en un
intervalo Dt, es q n dA v Dt, y la
densidad de corriente ( flujo de
cargas ) vendrá dada por la expresión:
Si
definimos la corriente como la cantidad de carga que pasa por unidad de tiempo:
Tenemos
que, a partir de J, debemos sumar todas las contribuciones de la densidad de
corriente en el área total A, que atraviesa la densidad de corriente.
Si la
Densidad de Carga es uniforme la integral da: siendo r la densidad de carga (Carga
por unidad de volumen ).
Note que
la densidad de corriente es un vector, pero la corriente no aunque tenga
“magnitud y dirección”.
Eléctrica se define como una
magnitud vectorial que tiene unidades de corriente eléctrica por unidad de superficie, es
decir, intensidad por unidad de área. Matemáticamente, la corriente y la
densidad de corriente se relacionan como:
I es la corriente eléctrica en amperios A
J es la densidad de corriente en
A·m-2
S es la superficie de estudio en m²
Cargas puntuales aisladas
La densidad de corriente está
relacionada con los portadores de cargas (electrones, huecos, iones en un electrolito) por :
Conductor eléctrica
Si la densidad de corriente es
uniforme en una región del espacio entonces la relación se simplifica
notablemente. Esto sucede con bastante aproximación en el interior de un tramo
de conductor de sección constante, donde el vector j es independiente de la
posición por lo que la sección, la densidad de corriente y la intensidad
guardan la relación:
Siendo S subzero la sección transversal del
tramo de conductor.
Densidad de corriente de un medio continuo
Si tenemos una región del espacio
con una densidad de carga, no necesariamente uniforme, en la que el movimiento
de cargas se puede representar por un campo vectorial de velocidades, para esa
distribución de cargas en movimiento tenemos:
donde p es la densidad de carga en un
punto y v la velocidad de las cargas en
ese punto.
En teoría de la
relatividad debido al carácter relativo del espacio y el tiempo, todas las
magnitudes físicas relevantes deben ser representables en un espacio-tiempo
unificado, que permita relacionar adecuadamente las medidas hechas por
diferentes observadores, eso implica que las magnitudes
vectoriales de la mecánica clásica deben ser cuadrivectores, cuya parte espacial coincide con
las componentes vectoriales de las magnitudes correspondientes de la mecánica
clásica.
Así el vector densidad de corriente
en mecánica relativista debe reemplazarse por un cuadrivector densidad
de corriente, que intervendrá en los análogos relativistas de las
ecuaciones del electromagnetismo. Este cuadrivector densidad de corriente
vienen dado por:
Los rho son componentes de la velocidad tridimensional de una distribución de carga y c es la velocidad de la luz.
Densidad de corriente en mecánica cuántica
En mecánica cuántica, la corriente de probabilidad (también denominada flujo de probabilidad) es un concepto
que describe el flujo de densidad de
probabilidad. Así, en mecánica cuántica no-relativista, se define como:
y satisface la ecuación de
continuidad mecanocuántica
siendo la densidad de probabilidad P
Ejercicios Resueltos
Conductividad
Conductividad es la propiedad de
aquello que es conductivo (es decir, que
tiene la facultad de conducir). Se trata de una propiedad física que disponen
aquellos objetos capaces de transmitir la electricidad o el calor.
La conductividad eléctrica, por lo
tanto, es la capacidad de los cuerpos que permiten el paso de la corriente a
través de sí mismos. Esta propiedad natural está vinculada a la facilidad con
la que los electrones pueden atravesarlos y resulta inversa a la resistividad.
Es importante diferenciar entre la
conductividad y la conductancia (la aptitud de un cuerpo para conducir la
corriente entre distintos puntos). La conductancia es la propiedad de la
resistencia.
En los líquidos, la conductividad está
vinculada a la existencia de sales en
etapa de solución ya que, con su disociación, se producen iones negativos y
positivos que pueden trasladar la energía eléctrica cuando el líquido es
sometido a un campo eléctrico. Dichos conductores iónicos reciben el nombre de
electrolitos.
En el caso de los sólidos, los
materiales con capacidad de conductividad son los que tienen bandas de valencia
que se superponen con la conducción y crean una nube de electrones libres que
generan la corriente al estar sometidos al campo eléctrico.
La conductividad térmica, por
último, es la propiedad de los cuerpos capaces de conducir el calor. El proceso
implica la transferencia de la energía cinética de molécula a molécula. La
propiedad inversa a la conductividad térmica recibe el nombre resistencia
térmica (la capacidad de un material para generar oposición al transporte del
calor). La conductividad eléctrica es la medida de la capacidad (o de la
aptitud) de un material para dejar pasar (o dejar circular) libremente
la corriente eléctrica. La
conductividad depende de la estructura atómica y molecular del material. Los metales son buenos conductores porque tienen una
estructura con muchos electrones con vínculos débiles, y esto permite su
movimiento. La conductividad también depende de otros factores físicos del
propio material, y de la temperatura.
La conductividad es la inversa de la resistividad; por tanto, la conductividad es igual a 1 sobre rho, y su unidad es el S/m (siemens por metro) o Ω−1·m−1.
Usualmente, la magnitud de la conductividad (σ) es la proporcionalidad
entre el campo eléctrico E y la densidad de corriente de
conducción J:
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